Romeu Costa nasceu em Aveiro, em 1979. Licenciou-se em Teatro pela Escola Superior de Teatro e Cinema de Lisboa. Em 2000, iniciou a sua carreira profissional no Teatro O Bando, numa encenação de João Brites baseado no texto de Tankred Dorst, Merlin. Desde então, tem trabalhado com os criadores teatrais mais relevantes do panorama teatral português, como Beatriz Batarda, Bruno Bravo, Gonçalo Amorim, Luca Aprea, Marco Martins, Miguel Seabra, Natália Luíza, Nuno Cardoso, Nuno Carinhas, Pedro Gil, Ricardo Neves-Neves, Tiago Guedes e Tiago Rodrigues.
Em 2009 foi nomeado para um Globo de Ouro de Melhor actor de Teatro, com o espectáculo Mona Lisa Show de Pedro Gil, e, em 2021, com o espectáculo Catarina e a Beleza de Matar Fascistas de Tiago Rodrigues. Em 2018 ganhou o prémio de Melhor Actor pelo espectáculo Órfãos, de Tiago Guedes, pela Sociedade Portuguesa de Autores.
Desenvolveu, paralelamente ao trabalho de actor, a coordenação e direcção de projectos artísticos com jovens não-actores e investigadores científicos. Co-criou com Pedro Gil o espectáculo Enquanto Vivermos, co-produzido pelo Festival de Teatro de Almada e Culturgest. Coordenou os projectos artísticos do concurso “Maratona da Saúde” para a Fundação Gulbenkian e lecciona o curso Comunicação de Ciência na Escola Doutoral da Universidade Nova de Lisboa.
Em 2017, concebeu o espectáculo A Manta, a convite do Teatro Maria Matos e co-encenou o espectáculo Pedro e o Capitão, co-produzido pelo São Luíz Teatro Municipal e pelo Teatro Municipal Constantino Nery. Em 2022 dirigiu e interpretou o espectáculo Maráia Quéri, co-produzido pelo TNDMII e pelo Teatro Municipal de Matosinhos Constantino Nery.
Em 2024 faz parte do elenco principal da novela Senhora do Mar, com direcção de Manuel Amaro da Costa, produzida pela SP/SIC. Continua a digressão internacional do espectáculo de Tiago Rodrigues, Catarina e a Beleza de Matar Fascistas.
